FÍSICA GRACELI TENSORIAL QUÂNTICA.

equação Graceli  quântica []  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

 

equação Graceli  tensorial quântica [1]   [DR] =            .=  =

 = tensor energia momentum

 = tensor quântico de Graceli.

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

 

    G  [DR] =             =

 G  [DR] =          =

EQUAÇÃO QUÂNTICA TENSORIAL GRACELI.

  G  [DR] =            .= 

G  [DR]  = É O TENSOR   GRACELI TENSÃO ENERGIA DE FLUXOS DE DILATAÇÕES E RETRAÇÕES COM CURVATURAS E SIMÉTRICO .

G  [DR]  = É O TENSOR   GRACELI TENSÃO ENERGIA DE FLUXOS DE DILATAÇÕES E RETRAÇÕES COM CURVATURAS E SIMÉTRICO .

     G  [DR] =             =

 G  [DR] =         =

G  [DR]  = É O TENSOR   GRACELI TENSÃO ENERGIA DE FLUXOS DE DILATAÇÕES E RETRAÇÕES COM CURVATURAS E SIMÉTRICO .

G  [DR]  = É O TENSOR   GRACELI TENSÃO ENERGIA DE FLUXOS DE DILATAÇÕES E RETRAÇÕES COM CURVATURAS E SIMÉTRICO .

    ] ω  , ,   =

A renormalização é um conjunto de técnicas utilizadas para eliminar os infinitos que aparecem em alguns cálculos em Teoria Quântica de Campos.^[1] Na mecânica estatística dos campos^[2] e na teoria de estruturas geométricas auto-similares,^[3] a renormalização é usada para lidar com os infinitos que surgem nas quantidades calculadas, alterando valores dessas quantidades para compensar os efeitos das suas auto-interações. Inicialmente vista como um procedimento suspeito e provisório por alguns de seus criadores, a renormalização foi posteriormente considerada uma ferramenta importante e auto-consistente em vários campos da física e da matemática. A renormalização é distinta da outra técnica para controlar os infinitos, regularização, que assume a existência de uma nova física desconhecida em novas escalas.^[4]

Renormalização em EDQ[editar | editar código-fonte]

Em Lagrangeano de EDQ,

${\displaystyle \mathcal{�}={\overline{�}}_{�}\left[�{�}_{�}\left({\mathrm{\partial }}^{�}+�{�}_{�}{�}_{�}^{�}\right)-{�}_{�}\right]{�}_{�}-\frac{1}{4}{�}_{���}{�}_{�}^{��}}$

/ 

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Os campos e a constante de acoplamento são realmente quantidades "cruas", por isso, o índice B acima. Convencionalmente, as quantidades cruas são escritas de modo que os termos lagrangianos correspondentes sejam múltiplos dos renormalizados:

${\displaystyle {\left(\overline{�}��\right)}_{�}={�}_0\overline{�}��}$

${\displaystyle {\left(\overline{�}\left({\mathrm{\partial }}^{�}+��{�}^{�}\right)�\right)}_{�}={�}_1\overline{�}\left({\mathrm{\partial }}^{�}+��{�}^{�}\right)�}$

${\displaystyle {\left({�}_{��}{�}^{��}\right)}_{�}={�}_3{�}_{��}{�}^{��}.}$

/ 

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Teoria de gauge e Identidade de Ward-Takahashi^[5][6] implicam que podemos renormalizar os dois termos da parte derivada covariante ${\displaystyle \overline{�}(\mathrm{\partial }+���)�}$ juntos^[7], que é o que aconteceu para Z₂, é o mesmo com Z₁.^[8]

Na mecânica quântica, a Representação de Dirac ou Representação de Interação é uma intermediação entre a Representação de Schrödinger e a Representação de Heisenberg. Considerando que nas outras duas representações ou o vetor do estado quântico ou o operador possuem dependência com o tempo, na Representação de Dirac ambas possuem parte da dependência do tempo dos observáveis.

Equações que incluem operadores agindo em tempos distintos, que são comportadas na Representação de Dirac, não necessariamente serão comportados nas representações de Schrödinger e Heisenberg. Isto é porque transformações unitárias do tempo se relaciona com operadores de uma representação com o operador análogo da outra representação.

Definição[editar | editar código-fonte]

Operadores e vetores dos estados quânticos na Representação de Dirac são relacionados pela mudança de base para aqueles operadores e vetores na Representação de Schrödinger.^[1]

Para alternar na Representação de Dirac, nós dividimos o hamiltoniano da Representação de Schrödinger em duas partes, ${\displaystyle {�}_{�}={�}_{0,�}+{�}_{1,�}}$. Qualquer escolha das partes nos dará uma Representação de Dirac válida, mas para nos ser útil na simplificação do problema, as partes serão escolhidas de forma que ${\displaystyle {�}_{0,�}}$ será facilmente resolvido e ${\displaystyle {�}_{1,�}}$ conterá as partes mais difíceis de analisar deste sistema.

Se o hamiltoniano for dependente do tempo (por exemplo, se o sistema quântico interagir com um campo elétrico aplicado externo que varia com o tempo), normalmente nos será vantajoso incluir explicitamente os termos dependentes do tempo com ${\displaystyle {�}_{1,�}}$, deixando o ${\displaystyle {�}_{0,�}}$ independente do tempo. Nós iremos assumir que este será o caso. (se existir um contexto em que isto faça sentido ter um ${\displaystyle {�}_{0,�}}$ dependente do tempo, então deve-se trocar ${\displaystyle {�}^{\pm �{�}_{0,�}�/\hslash }}$ pelo operador de evolução).

Vetor do estado quântico[editar | editar código-fonte]

O vetor do estado quântico na Representação de Dirac é definido como^[2]

${\displaystyle |{�}_{�}(�)⟩={�}^{�{�}_{0,�}�/\hslash }|{�}_{�}(�)⟩}$

/ 

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Onde ${\displaystyle |{�}_{�}(�)⟩}$ é o mesmo vetor da Representação de Schrödinger.

Operadores[editar | editar código-fonte]

Um operador na Representação de Dirac é definido como

${\displaystyle {�}_{�}(�)={�}^{�{�}_{0,�}�/\hslash }{�}_{�}(�){�}^{-�{�}_{0,�}�/\hslash }.}$

/ 

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Perceba que ${\displaystyle {�}_{�}(�)}$ não será dependente de t e pode ser reescrito como ${\displaystyle {�}_{�}}$.

Operador hamiltoniano[editar | editar código-fonte]

Para o operador ${\displaystyle {�}_0}$ a Representação de Dirac e Schrödinger são idênticas

${\displaystyle {�}_{0,�}(�)={�}^{�{�}_{0,�}�/\hslash }{�}_{0,�}{�}^{-�{�}_{0,�}�/\hslash }={�}_{0,�}}$

/ 

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Isto pode ser comprovador usando o facto que os operadores comutáveis com funções diferenciáveis. Este operador em particular também pode ser escrito da forma ${\displaystyle {�}_0}$ sem ambiguidade.

Para a perturbação hamiltoniana ${\displaystyle {�}_{1,�}}$, teremos

${\displaystyle {�}_{1,�}(�)={�}^{�{�}_{0,�}�/\hslash }{�}_{1,�}{�}^{-�{�}_{0,�}�/\hslash }}$

/ 

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

onde a perturbação hamiltoniana da Representação de Dirac se torna um hamiltoniano dependente do tempo (a não ser que ${\displaystyle [{�}_{1,�},{�}_{0,�}]=0}$).

/ 

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

É possível de se obter a Representação de Dirac para um hamiltoniano dependente do tempo ${\displaystyle {�}_{0,�}(�)}$, mas os exponencias precisam ser substituídos pelo propagador unitário devido para ${\displaystyle {�}_{0,�}(�)}$ ou mais explícito com uma integral exponencial ordenada pelo tempo.

Matriz densidade[editar | editar código-fonte]

A matriz densidade pode se demonstrada transformando a Representação de Dirac da mesma forma como qualquer outro operador. Em particular, deixe ${\displaystyle {�}_{�}}$ e ${\displaystyle {�}_{�}}$ ser a matriz de densidade na Representação de Dirac e na Representação de Schrödinger, respectivamente. Se existe possibilidade de ${\displaystyle {�}_{�}}$ ser no estado físico ${\displaystyle |{�}_{�}⟩}$, então

${\displaystyle {�}_{�}(�)=\sum _{�}{�}_{�}(�)|{�}_{�,�}(�)⟩⟨{�}_{�,�}(�)|=\sum _{�}{�}_{�}(�){�}^{�{�}_{0,�}�/\hslash }|{�}_{�,�}(�)⟩⟨{�}_{�,�}(�)|{�}^{-�{�}_{0,�}�/\hslash }={�}^{�{�}_{0,�}�/\hslash }{�}_{�}(�){�}^{-�{�}_{0,�}�/\hslash }}$

/ 

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Equações da evolução temporal[editar | editar código-fonte]

Estados da evolução temporal[editar | editar código-fonte]

Transformando a Equação de Schrödinger numa Representação de Dirac teremos:

${\displaystyle �\hslash \frac{�}{��}|{�}_{�}(�)⟩={�}_{1,�}(�)|{�}_{�}(�)⟩.}$

/ 

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Esta equação se refere à equação Schwinger-Tomonaga.

Operadores da evolução temporal[editar | editar código-fonte]

Se o operador ${\displaystyle {�}_{�}}$ é independente do tempo então a evolução temporal correspondente para ${\displaystyle {�}_{�}(�)}$ é dada por

${\displaystyle �\hslash \frac{�}{��}{�}_{�}(�)=\left[{�}_{�}(�),{�}_0\right].}$

/ 

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Na Representação de Dirac os operadores evoluem no tempo como os operadores da Representação de Heisenberg com o hamiltoniano ${\displaystyle {�}^{\prime }={�}_0}$.

Evolução temporal da matriz densidade[editar | editar código-fonte]

Transformando a equação de Schwinger-Tomonaga na linguagem da matriz densidade teremos

${\displaystyle �\hslash \frac{�}{��}{�}_{�}(�)=\left[{�}_{1,�}(�),{�}_{�}(�)\right].}$

/ 

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Usos da Representação de Dirac[editar | editar código-fonte]

O propósito da Representação de Dirac é nos desviar de toda dependência do tempo devido o H₀ dos operadores, deixando apenas H_{1, I} afetando a dependência do tempo dos vetores do estado quântico.

A Representação de Dirac é conveniente quando considerado o efeito de uma pequena interação, H_{1, S}, sendo somado ao hamiltoniano de um sistema solucionado, H_{0, S}. Pela troca na Representação de Dirac, nós podemos usar a teoria perturbacional dependente do tempo para encontrar o efeito de H_{1, I}.

Na mecânica quântica, uma função de estado é uma combinação linear (uma superposição) de valor próprio. Numa Representação de Schrödinger, o estado de um sistema evolui com o tempo, onde a evolução para um sistema quântico fechado é provocada por operador unitário chamado de operador da evolução temporal. Isto difere de uma Representação de Heisenberg onde os estados são constantes enquanto os observáveis evoluem com o tempo. As estatísticas de medição são as mesmas em ambas as representações.

O operador de evolução temporal[editar | editar código-fonte]

Definição[editar | editar código-fonte]

O operador de evolução temporal U(t,t₀) é definido como:

${\displaystyle |�(�)⟩=�(�,{�}_0)|�({�}_0)⟩}$

/ 

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Isto é, quando este operador está agindo no estado "ket" em t₀ no dá o estado "ket" em um tempo t. Para "bras", nós temos:

${\displaystyle ⟨�(�)|=⟨�({�}_0)|{�}^{†}(�,{�}_0)}$

/ 

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Primeira propriedade[editar | editar código-fonte]

A operador da evolução temporal deve ser unitário. Isto é necessário porque nós precisamos que a norma do estado "ket" não mude com o tempo. Isto é,

${\displaystyle ⟨�(�)|�(�)⟩=⟨�({�}_0)|{�}^{†}(�,{�}_0)�(�,{�}_0)|�({�}_0)⟩=⟨�({�}_0)|�({�}_0)⟩}$

/ 

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Em consequência disto,

${\displaystyle {�}^{†}(�,{�}_0)�(�,{�}_0)=�(�(�,{�}_0)).}$

/ 

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Segunda propriedade[editar | editar código-fonte]

Distintamente U(t₀,t₀) = I, a função identidade. Como:

${\displaystyle |�({�}_0)⟩=�({�}_0,{�}_0)|�({�}_0)⟩}$

/ 

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Terceira propriedade[editar | editar código-fonte]

A evolução temporal de t₀ para t pode ser vista como a evolução temporal de t₀ para um tempo t₁ indeterminado e de t₁ para o tempo final t. Então conclui-se:

${\displaystyle �(�,{�}_0)=�(�,{�}_1)�({�}_1,{�}_0)}$

/ 

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Equação diferencial para o operador da evolução temporal[editar | editar código-fonte]

Se dermos, por convenção, o índice t₀ no operador da evolução temporal de forma que t₀ = 0 e escrevermos isto com U(t). A Equação de Schrödinger pode ser re-escrita da seguinte forma:

${\displaystyle �\hslash \frac{�}{��}�(�)|{�}_{�}(0)⟩=��(�)|{�}_{�}(0)⟩}$

/ 

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Onde H é o Hamiltoniano para o sistema. Como ${\displaystyle |�(0)⟩}$ é uma constante de ket (o estado ket é da forma t = 0), nós vemos que o operador da evolução temporal obedece a Equação de Schrödinger:

${\displaystyle �\hslash \frac{�}{��}�(�)=��(�)}$

/ 

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Se o hamiltoniano independe do tempo, a solução da equação acima será:

${\displaystyle �(�)={�}^{-���/\hslash }.}$

/ 

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Onde nós também usamos o facto que t = 0, U(t) precisa reduzir para a função identidade. Assim obteremos:

${\displaystyle |�(�)⟩={�}^{-���/\hslash }|�(0)⟩.}$

/ 

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Perceba que ${\displaystyle |�(0)⟩}$ é um ket arbitrário. Apesar de que, se o ket inicial é um valor próprio do hamiltoniano, com o valor próprio E, nós temos:

${\displaystyle |�(�)⟩={�}^{-���/\hslash }|�(0)⟩.}$

Assim, vemos que os valores próprios do hamiltoniano são estados estacionários, eles apenas escolhem um fator de fase global já que eles evoluem com o tempo. Se o hamiltoniano é dependente do tempo, mas os hamiltonianos de diferentes tempo comutam, então o operador da evolução temporal pode ser escrito da forma:

${\displaystyle �(�)=\exp \left(-\frac{�}{\hslash }{\int }_0^{�}�({�}^{{}^{\prime }})�{�}^{{}^{\prime }}\right).}$

/ 

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Uma alternativa para a Representação de Schrödinger é trocar para uma rotação de referências de quadros, que seja rotacionada pelo propagador do movimento. Desde que a rotação ondulatória seja agora assumida pelo próprio referencial, uma função de estados não perturbados surge para ser verdadeiramente estáticos.

Na física a Representação de Heisenberg, desenvolvida pelo físico Werner Heisenberg, é a formulação da mecânica quântica onde os operadores (observáveis) são dependentes do tempo e o estado quântico são independentes do tempo. Isto demonstra o contraste com a Representação de Schrödinger na qual os operadores são constantes e o estado quântico se desenvolve no tempo. Estas duas representações apenas se diferem pela mudança na dependência do tempo. Formalmente falando a Representação de Heisenberg é a formulação da mecânica matricial numa base arbitrária, onde o Hamiltoniano não é necessariamente diagonal.

Detalhes matemáticos[editar | editar código-fonte]

Na Representação de Heisenberg da mecânica quântica o estado quântico, ${\displaystyle |�⟩}$, não se modifica com o tempo, e um observador A satisfaz a equação

${\displaystyle \frac{�}{��}�(�)=\frac{�}{\hslash }[�,�(�)]+\left(\frac{\mathrm{\partial }�}{\mathrm{\partial }�}\right),}$

/ 

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

onde H é o hamiltoniano e [·,·] é o comutador de A e H. Em certo sentido, a Representação de Heisenberg é mais natural e fundamental que a Representação de Schrödinger, especialmente para a teoria da relatividade geral e restrita.

A similaridade da Representação de Heisenberg com a física clássica é facilmente identificada ao trocar o comutador da equação acima pelos Parênteses de Poisson, então a equação de Heisenberg se tornará uma equação da mecânica hamiltoniana.

Derivando a equação de Heisenberg[editar | editar código-fonte]

Suponha que nós tenhamos um observador A (que é um operador autoadjunto). O valor esperado de A para um dado estado ${\displaystyle |�(�)⟩}$ é dado por:

${\displaystyle ⟨�{⟩}_{�}=⟨�(�)|�|�(�)⟩}$

/ 

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

ou se nós escrevermos a seguinte Equação de Schrödinger

${\displaystyle |�(�)⟩={�}^{-���/\hslash }|�(0)⟩}$

(onde H é o hamiltoniano independente do tempo e ħ é a Constante de Planck dividida por 2·π) nós teremos

${\displaystyle ⟨�{⟩}_{�}=⟨�(0)|{�}^{���/\hslash }�{�}^{-���/\hslash }|�(0)⟩,}$

e então nós definiremos

${\displaystyle �(�):={�}^{���/\hslash }�{�}^{-���/\hslash }.}$

/ 

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Agora obteremos

${\displaystyle \frac{�}{��}�(�)=\frac{�}{\hslash }�{�}^{���/\hslash }�{�}^{-���/\hslash }+\left(\frac{\mathrm{\partial }�}{\mathrm{\partial }�}\right)+\frac{�}{\hslash }{�}^{���/\hslash }�\cdot (-�){�}^{-���/\hslash }}$

/ 

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

(diferenciando de acordo com a regra do produto)

${\displaystyle =\frac{�}{\hslash }{�}^{���/\hslash }\left(��-��\right){�}^{-���/\hslash }+\left(\frac{\mathrm{\partial }�}{\mathrm{\partial }�}\right)=\frac{�}{\hslash }\left(��(�)-�(�)�\right)+\left(\frac{\mathrm{\partial }�}{\mathrm{\partial }�}\right)}$

/ 

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

(a última passagem é válida já que ${\displaystyle {�}^{-���/\hslash }}$ comuta com H.) Nós agora estamos à esquerda da Equação de Heisenberg do movimento

${\displaystyle \frac{�}{��}�(�)=\frac{�}{\hslash }[�,�(�)]+\left(\frac{\mathrm{\partial }�}{\mathrm{\partial }�}\right)}$

/ 

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

(onde [X, Y] é o comutador dos dois operadores e definidos como [X, Y] := XY − YX).

Agora, se nós fizermos uso do operador de igualdade

${\displaystyle {�}^{�}�{�}^{-�}=�+[�,�]+\frac{1}{2!}[�,[�,�]]+\frac{1}{3!}[�,[�,[�,�]]]+\cdots }$

/ 

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Nós veremos que para um observador independente do tempo A, nós obteremos:

${\displaystyle �(�)=�+\frac{��}{\hslash }[�,�]-\frac{{�}^2}{2!{\hslash }^2}[�,[�,�]]-\frac{�{�}^3}{3!{\hslash }^3}[�,[�,[�,�]]]+\dots .}$

/ 

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Devido ao relacionamento entre os Parênteses de Poisson e os comutadores, esta relação também obedece à mecânica clássica.

Relacionamento do comutador[editar | editar código-fonte]

O relacionamento do comutador é bastante diferente à Representação de Schrödinger por causa da dependência do tempo dos operadores. Por exemplo, considere os operadores ${\displaystyle �({�}_1),�({�}_2),�({�}_1)}$ e ${\displaystyle �({�}_2)}$. A evolução no tempo destes operadores depende do hamiltoniano deste sistema. Para um oscilador harmônico de uma dimensão

${\displaystyle �=\frac{{�}^2}{2�}+\frac{�{�}^2{�}^2}{2}}$

/ 

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

A evolução da posição e do operador do momento é dada por:

${\displaystyle \frac{�}{��}�(�)=\frac{�}{\hslash }[�,�(�)]=\frac{�}{�}}$

/ 

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

${\displaystyle \frac{�}{��}�(�)=\frac{�}{\hslash }[�,�(�)]=-�{�}^2�}$

/ 

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Pela diferenciação de ambas equações e solucionando com as devidas condições iniciais

${\displaystyle \dot{�}(0)=-�{�}^2{�}_0}$

/ 

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

${\displaystyle \dot{�}(0)=\frac{{�}_0}{�}}$

/ 

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

nos leva a:

${\displaystyle �(�)={�}_0\cos (��)+\frac{{�}_0}{��}\sin (��)}$

/ 

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

${\displaystyle �(�)={�}_0\cos (��)-��{�}_0\sin (��)}$

/ 

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Agora nós estamos prontos para diretamente comutar a relação do comutador:

${\displaystyle [�({�}_1),�({�}_2)]=\frac{�\hslash }{��}\sin (�{�}_2-�{�}_1)}$

${\displaystyle [�({�}_1),�({�}_2)]=�\hslash ��\sin (�{�}_2-�{�}_1)}$

${\displaystyle [�({�}_1),�({�}_2)]=�\hslash \cos (�{�}_2-�{�}_1)}$

/ 

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Perceba que para ${\displaystyle {�}_1={�}_2}$, simplesmente obteremos a já conhecida relação de comutação canônica.